Marketing Demand
Summary
Bài viết này khám phá mối liên hệ đặc biệt giữa tỷ lệ √2 và kích thước giấy tiêu chuẩn quốc tế， đưa ra cái nhìn sâu sắc về ứng dụng thực tế của số vô tỷ trong cuộc sống hàng ngày． Tôi cảm thấy thật thú vị khi thấy toán học không chỉ là lý thuyết mà còn hiện diện trong những điều bình dị nhất như tờ giấy chúng ta sử dụng． Key Points:
- Sự bất khả xâm phạm của √2 đã mở ra hướng nghiên cứu mới về lý thuyết số, thúc đẩy việc tìm hiểu các hệ thống số khác nhau.
- Tỷ lệ √2 là nền tảng cho thiết kế giấy A-series, giúp tối ưu hóa hiệu quả sử dụng và tiết kiệm chi phí khi cắt giấy.
- √2 có vai trò quan trọng trong hình học Euclid và hiện đại, từ việc xây dựng hình vuông đến ứng dụng trong kiến trúc nghệ thuật.
Sự kỳ lạ của số √2
**Những điều có thể bạn chưa biết về √2 - Ứng dụng thú vị của một con số vô tỉ!**
"_Sự điên rồ hiếm khi xuất hiện ở cá nhân, nhưng với các nhóm, đảng phái, quốc gia hay thời đại, nó lại là quy luật._" — Friedrich Nietzsche (1844–1900)
Thú thật đi, √2 là một con số kỳ quặc. Nó không phải là số duy nhất như vậy, nhưng ít nhất, trong số những thứ "kỳ lạ" toán học, nó lại dễ hiểu nhất. Nếu bạn đã từng học toán một cách bài bản, hẳn bạn biết điều này. Lý do là vì có lẽ lần đầu tiên bạn tiếp cận với chứng minh phản chứng nghiêm ngặt chính là qua ví dụ kinh điển về tính vô tỉ của √2.
Nhưng √2 không chỉ là một khái niệm trừu tượng. Nó xuất hiện trong những thứ rất gần gũi, chẳng hạn như kích thước giấy tiêu chuẩn quốc tế (A4, A3,...). Tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của chúng chính là 1:√2, giúp khi gấp đôi tờ giấy, tỷ lệ này vẫn được bảo toàn. Điều này không chỉ tiện lợi mà còn mang lại vẻ hài hòa về mặt thẩm mỹ.
Trong kiến trúc và nghệ thuật, √2 cũng đóng vai trò quan trọng. Tỷ lệ này thường được sử dụng để tạo ra sự cân đối, từ những bức tranh cổ điển đến các công trình hiện đại. Và đừng quên, ngay cả chất liệu giấy làm từ bột gỗ tự nhiên cũng góp phần tạo nên độ bền và vẻ đẹp cho sản phẩm cuối cùng.
√2 có thể là một con số "không bình thường", nhưng ứng dụng của nó thì lại rất... hợp lý!
Hành trình khám phá tính bất hợp lý
**Hành Vi Phi Lý**
Khi nói đến "phi lý", ý chúng tôi là dù bạn có cố gắng đến đâu, cũng không thể biểu diễn chính xác con số này dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên. Phần thập phân của nó kéo dài vô tận và không bao giờ lặp lại theo chu kỳ. Bản thân từ này mang nghĩa "không hợp lý hoặc không thể lý giải".
Điều khiến √2 trở nên đặc biệt so với các con số khác chính là việc nó được coi là số "không hợp lý" đầu tiên từng được phát hiện. Thậm chí, nó bị xem là quá "vô lý" đến mức khiến người ta phát điên. Điên cuồng, mất kiểm soát đến mức giết người. Câu chuyện bi thảm về Hippasus – triết gia Pythagoras đã tìm ra chứng minh này – là minh chứng rõ nhất. Ông bị ép lên một con thuyền đơn độc đến nơi chẳng ai biết, chỉ để ngăn việc tiết lộ thêm bất kỳ sự thật không mong muốn nào khác.
Bên cạnh đó, √2 còn gắn liền với những ứng dụng thực tế thú vị, như tỷ lệ vàng trong hình chữ nhật hay vai trò trong thiết kế đồ họa. Chẳng hạn, khổ giấy tiêu chuẩn quốc tế A4 cũng dựa trên nguyên tắc này, giúp tối ưu hóa diện tích sử dụng. Tỷ lệ vàng không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn len lỏi vào nghệ thuật và kiến trúc, tạo nên vẻ đẹp cân đối tự nhiên.
Extended Perspectives Comparison:
| Kết luận | Ý nghĩa | Ứng dụng | Nguồn gốc | Tác giả |
|---|---|---|---|---|
| √2 là số vô tỉ đầu tiên được phát hiện. | Biểu diễn không chính xác dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên. | Sử dụng trong kích thước giấy A-series, tối ưu hóa thiết kế in ấn. | Được chứng minh bởi Hippasus, triết gia Pythagorean. | Georg Christoph Lichtenberg khám phá ra ứng dụng thực tiễn của nó. |
| Tỷ lệ √2 duy trì sự cân đối khi cắt giấy. | Giá trị thẩm mỹ và tính thực tiễn trong nghệ thuật và kiến trúc. | Hữu ích cho việc in ấn, tiết kiệm nguyên liệu. | Walter Porstmann phát triển tiêu chuẩn khổ giấy A-series vào năm 1922. | |
| Khổ A4 có tỷ lệ gần bằng √2 (1:1.414). | ||||
| Tiêu chuẩn ISO 216 bao gồm các kích thước A, B, C dựa trên tỷ lệ này. |
Chứng minh sự bất hợp lý của √2
Nếu bạn đã quen thuộc với chứng minh này, [có thể bỏ qua phần sau](#98f3). Còn không thì đây là lập luận đơn giản của Hippasus.
**1**. Giả sử √2 là số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản:
![Phương trình 1]
Ở đây, _a_ và _b_ là các số nguyên không có ước chung (phân số đã được rút gọn tối đa), và _b_ ≠ 0.
**2**. Bình phương cả hai vế ta được:
![Phương trình 2]
Từ đây suy ra _a_² là số chẵn, nên _a_ cũng phải chẵn – bởi nếu _a_ lẻ thì bình phương của nó cũng sẽ lẻ.
Để củng cố thêm, có thể thấy rằng phương pháp phản chứng này không chỉ áp dụng cho √2 mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán khác, chẳng hạn như thiết kế khổ giấy A4 với tỉ lệ vàng √2 giúp tối ưu hóa diện tích sử dụng. Điều này cho thấy sự gắn kết thú vị giữa toán học thuần túy và ứng dụng thực tế.
**1**. Giả sử √2 là số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản:
![Phương trình 1]
Ở đây, _a_ và _b_ là các số nguyên không có ước chung (phân số đã được rút gọn tối đa), và _b_ ≠ 0.
**2**. Bình phương cả hai vế ta được:
![Phương trình 2]
Từ đây suy ra _a_² là số chẵn, nên _a_ cũng phải chẵn – bởi nếu _a_ lẻ thì bình phương của nó cũng sẽ lẻ.
Để củng cố thêm, có thể thấy rằng phương pháp phản chứng này không chỉ áp dụng cho √2 mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán khác, chẳng hạn như thiết kế khổ giấy A4 với tỉ lệ vàng √2 giúp tối ưu hóa diện tích sử dụng. Điều này cho thấy sự gắn kết thú vị giữa toán học thuần túy và ứng dụng thực tế.
Ý nghĩa triết học của Pythagoreanism
**3**. Vì đã biết _a_ là số chẵn, ta có thể viết _a_ = 2_k_ với _k_ là số nguyên. Thay vào vế phải Phương trình 2, ta được: ![Phương trình 3] Điều này cho thấy _b_² cũng là số chẵn.
Nhưng khoan đã... giờ cả _a_ lẫn _b_ đều chẵn, nghĩa là chúng có ước chung là 2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng _a_ và _b_ không có ước chung. Vậy giả định √2 là số hữu tỉ là sai. Kết luận: √2 phải là số vô tỉ.
Triết lý trung tâm của trường phái Pythagoras cho rằng bản chất vũ trụ có thể giải thích qua số nguyên và tỉ lệ - từ hình học, âm nhạc, sự hài hòa đến vũ trụ quan hay triết học. Họ tin rằng những con số không chỉ mô tả hiện thực, mà chính chúng *là* hiện thực.
*Gợi mở thêm*: Tỉ lệ √2 không chỉ là bài toán toán học, nó còn hiện diện trong kiến trúc và thiên nhiên như một chuẩn mực hài hòa. Ví dụ, khổ giấy A4 sử dụng tỉ lệ này để tạo sự cân đối, đồng thời vật liệu giấy thân thiện môi trường cũng phản ánh tư tưởng bền vững mà Pythagoras hướng tới – dù ông chưa từng biết đến giấy tái chế!
)
Free ImagesNhững ứng dụng thực tiễn của √2 trong toán học
Cảm ơn Pythagoras, chúng ta có một sự thật toán học cơ bản được gọi là định lý Pythagore. Nó cho chúng ta biết rằng đối với một tam giác vuông (tam giác có một góc 90 độ) với các cạnh _a_ và _b_ và cạnh huyền _c_,! Vấn đề mà Hippasus gặp phải là định lý Pythagore cũng có nghĩa rằng:! Nói cách khác, điều ông chứng minh là cùng một thước đo được sử dụng để đo các cạnh của hình vuông đơn vị _không thể chính xác đo chiều chéo của nó_. Đối với các nhà Pythagore, điều này có nghĩa là sự kết thúc của thế giới hợp lý. Một cách mỉa mai, trong hành động đẩy đồng nghiệp của mình ra ngoài lề, họ đã chứng minh rằng thế giới con người chắc chắn không hề hợp lý.
### Vấn đề
Số √2 xuất hiện theo cách rất cơ bản trong nhiều bối cảnh toán học từ lượng giác đến đại số tuyến tính và cả cơ học lượng tử. Thật thú vị, cũng có một ứng dụng siêu hợp lý và ít được biết đến về √2 trong cuộc sống hàng ngày: giấy in.
Nếu bạn sống ở Hoa Kỳ hoặc Canada và làm việc với tài liệu in ấn, bạn có thể đã gặp phải vấn đề này. Chẳng hạn như bạn đã thử sản xuất một bản tin bằng cách chuyển từ chế độ chân dung sang chế độ nằm ngang, hoặc có thể bạn đã cố gắng thay đổi kích thước hình ảnh để phù hợp với hai bản sao nhỏ hơn trên một trang giấy. Vấn đề? Các bản sao được thay đổi kích thước _không bao giờ vừa vặn chính xác_. Chúng thường bị cắt xén, để lại không gian thừa hoặc trở nên méo mó.
Mỗi khi tôi cần in thứ gì đó, mặc định thường là "kích thước letter", đo khoảng 8.5 x 11 inch. Tỷ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của giấy này khoảng 1.294. Nếu cắt chiều cao thành đôi, tỷ lệ cho mỗi nửa sẽ trở thành 5.5/8.5, hay khoảng 1.545. Tỷ lệ không được bảo toàn khi giảm chiều cao xuống.
Trong một đất nước kiên quyết giữ lại hệ thống đo lường phi chuẩn hóa trong suốt hơn hai thế kỷ rưỡi qua hệ thống trọng lượng và kích thước cổ điển mà không mấy ý nghĩa, thật dễ hiểu khi nói rằng khi nói đến kích thước giấy thì Hoa Kỳ đang bị mất nhịp so với phần còn lại của thế giới.
Đặc biệt hơn nữa là số √2 xuất hiện trong việc xác định kích thước giấy A-series giúp duy trì tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng ngay cả khi chúng ta cắt nhỏ hơn hay thay đổi kiểu dáng thiết kế tài liệu in của mình mà vẫn đảm bảo tính nhất quán về mặt thị giác."
### Vấn đề
Số √2 xuất hiện theo cách rất cơ bản trong nhiều bối cảnh toán học từ lượng giác đến đại số tuyến tính và cả cơ học lượng tử. Thật thú vị, cũng có một ứng dụng siêu hợp lý và ít được biết đến về √2 trong cuộc sống hàng ngày: giấy in.
Nếu bạn sống ở Hoa Kỳ hoặc Canada và làm việc với tài liệu in ấn, bạn có thể đã gặp phải vấn đề này. Chẳng hạn như bạn đã thử sản xuất một bản tin bằng cách chuyển từ chế độ chân dung sang chế độ nằm ngang, hoặc có thể bạn đã cố gắng thay đổi kích thước hình ảnh để phù hợp với hai bản sao nhỏ hơn trên một trang giấy. Vấn đề? Các bản sao được thay đổi kích thước _không bao giờ vừa vặn chính xác_. Chúng thường bị cắt xén, để lại không gian thừa hoặc trở nên méo mó.
Mỗi khi tôi cần in thứ gì đó, mặc định thường là "kích thước letter", đo khoảng 8.5 x 11 inch. Tỷ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của giấy này khoảng 1.294. Nếu cắt chiều cao thành đôi, tỷ lệ cho mỗi nửa sẽ trở thành 5.5/8.5, hay khoảng 1.545. Tỷ lệ không được bảo toàn khi giảm chiều cao xuống.
Trong một đất nước kiên quyết giữ lại hệ thống đo lường phi chuẩn hóa trong suốt hơn hai thế kỷ rưỡi qua hệ thống trọng lượng và kích thước cổ điển mà không mấy ý nghĩa, thật dễ hiểu khi nói rằng khi nói đến kích thước giấy thì Hoa Kỳ đang bị mất nhịp so với phần còn lại của thế giới.
Đặc biệt hơn nữa là số √2 xuất hiện trong việc xác định kích thước giấy A-series giúp duy trì tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng ngay cả khi chúng ta cắt nhỏ hơn hay thay đổi kiểu dáng thiết kế tài liệu in của mình mà vẫn đảm bảo tính nhất quán về mặt thị giác."
Vấn đề với kích thước giấy tại Mỹ và Canada
Nếu ngồi làm việc ở hầu hết mọi nơi trên thế giới, khổ giấy mặc định của tôi chắc chắn sẽ là "A4" - 210 mm x 297 mm (khoảng 8.3 x 11.7 inch). Bạn có đoán được tỷ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của tờ giấy không? Đúng vậy, xấp xỉ 1.414, tức gần bằng √2. Nhưng tại sao lại thế?
### Công dụng bất ngờ của con số vô tỷ
Tôi biết đến nhà vật lý kiêm nhà văn châm biếm người Đức Georg Christoph Lichtenberg (1742–1799) khi dạy tại [Hội thảo Hình học Fractal Yale]. Một trong những ví dụ về phân nhánh fractal chúng tôi thảo luận chính là hình phóng điện Lichtenberg - thứ sau này tôi mới biết ông chính là người khám phá ra hiện tượng này.
Điều thú vị là chính Lichtenberg cũng là người đầu tiên nhận ra lợi ích của tỷ lệ √2 trong thiết kế giấy. Khổ A4 với tỷ lệ này cho phép cắt ghép giấy mà không gây lãng phí, đồng thời duy trì tỷ lệ cân đối khi phóng to/thu nhỏ - đặc biệt hữu ích khi dùng chung với các loại giấy tái chế hay giấy chuyên dụng trong ngành in ấn.
### Công dụng bất ngờ của con số vô tỷ
Tôi biết đến nhà vật lý kiêm nhà văn châm biếm người Đức Georg Christoph Lichtenberg (1742–1799) khi dạy tại [Hội thảo Hình học Fractal Yale]. Một trong những ví dụ về phân nhánh fractal chúng tôi thảo luận chính là hình phóng điện Lichtenberg - thứ sau này tôi mới biết ông chính là người khám phá ra hiện tượng này.
Điều thú vị là chính Lichtenberg cũng là người đầu tiên nhận ra lợi ích của tỷ lệ √2 trong thiết kế giấy. Khổ A4 với tỷ lệ này cho phép cắt ghép giấy mà không gây lãng phí, đồng thời duy trì tỷ lệ cân đối khi phóng to/thu nhỏ - đặc biệt hữu ích khi dùng chung với các loại giấy tái chế hay giấy chuyên dụng trong ngành in ấn.
Giải pháp sử dụng tỷ lệ √2 cho giấy A-series
Hồi đó tôi đâu có ngờ Lichtenberg lại là một nhà thực nghiệm tài ba. Trong bức thư gửi đồng nghiệp Johann Beckmann năm 1786, ông giải thích rất rõ cả giá trị thực tiễn lẫn thẩm mỹ của loại giấy ngày nay chúng ta gọi là khổ A - thứ giấy mà khi chia chiều dài cho chiều rộng thì luôn ra con số √2 kỳ diệu. Đây chính là tỷ lệ đặc biệt đến mức chỉ cần gập đôi tờ giấy theo chiều ngang, bạn sẽ có hai tờ nhỏ hơn nhưng vẫn giữ nguyên tỷ lệ ấy.
Cái hay của khổ giấy này nằm ở chỗ nó tuân theo nguyên tắc hình học chuẩn chỉnh: cứ mỗi lần chia đôi kích thước, tỷ lệ √2 lại đảm bảo các phần nhỏ vẫn cân đối y như bản gốc. Lại còn tiết kiệm nữa chứ - từ khâu thiết kế bản in, đóng gói đến vận chuyển đều tối ưu hóa được nguyên vật liệu. Ngày nay người ta còn ưa dùng thêm giấy tái chế hay giấy làm từ gỗ rừng trồng bền vững, kết hợp với công nghệ in ấn hiện đại nên vừa thân thiện môi trường lại giảm hao phí đáng kể.
Chuyện Lichtenberg khám phá ra tỷ lệ này cũng thú vị lắm, bắt nguồn từ những thí nghiệm với tia electron trên khối acrylic mà sau này tạo ra những hình Lichtenberg nổi tiếng. Ông bảo trong thư rằng tỷ lệ √2 không chỉ chính xác về mặt toán học, mà còn "đẹp" theo một cách rất tự nhiên - cái đẹp của sự hài hòa vốn có trong quy luật vũ trụ.
Lịch sử phát triển tiêu chuẩn giấy A-series
Chúng ta có thể thấy các hình chữ nhật ở đây có cùng tỷ lệ khung hình (aspect ratio). Khi tính toán kích thước, do chiều cao _y_ phải là giá trị dương (không thể âm), nên với trường hợp _x_ = 1, ta có _y_ = √2.
Chuyện này cũng khá thú vị – phải gần 1.5 thế kỷ sau, kỹ sư kiêm nhà toán học người Đức Walter Porstmann mới hiện thực hóa ý tưởng về tỷ lệ giấy mà Lichtenberg từng ca ngợi. Năm 1922, khi đảm nhiệm vị trí giám đốc điều hành đầu tiên của Viện Tiêu chuẩn hóa Đức (DIN), ông đã phát triển tiêu chuẩn khổ giấy A-series.
Nhân tiện, nguyên lý √2 này giúp duy trì tỷ lệ diện tích ổn định dù bạn gập đôi tờ giấy theo chiều nào. Chất liệu thường dùng cho loại giấy tiêu chuẩn này thường là cellulose hoặc hỗn hợp bột gỗ tự nhiên, đảm bảo độ bền và chất lượng in ấn. Giờ đây, tiêu chuẩn A-series đã trở nên phổ biến toàn cầu, ảnh hưởng sâu rộng đến ngành in ấn và văn phòng phẩm.
)
Cách thức thay đổi kích thước hình ảnh không bị biến dạng
Ý tưởng của ông là tạo ra một tiêu chuẩn toàn cầu giúp việc thương mại và trao đổi thông tin giữa các quốc gia trở nên dễ dàng hơn. Hệ thống này, ngày nay được biết đến với tên gọi tiêu chuẩn ISO 216, bắt đầu với khổ giấy **A0** có diện tích chính xác 1 mét vuông. Các khổ tiếp theo (**A1**, **A2**,...) đều giữ nguyên tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng, cụ thể là mỗi cạnh sẽ bằng 1/√2 so với khổ trước đó, nhờ vậy diện tích cũng giảm đi một nửa. Dưới đây là minh họa cho dãy kích thước này, trải dài từ **A0** đến **A10**.
*Lưu ý: Tỷ lệ khung hình cố định (khoảng 1:1.414) chính là điểm then chốt giúp các khổ giấy A-series có thể thu phóng linh hoạt mà không bị biến dạng, tương tự như khi bạn khóa tỷ lệ trong phần mềm chỉnh sửa ảnh.*
Tại sao lựa chọn giấy tỷ lệ bất hợp lý lại là quyết định hợp lý
Giấy A0 thường được sử dụng cho các kế hoạch kiến trúc hoặc đồ họa triển lãm, trong khi giấy A8 lại thích hợp cho danh thiếp. Một ví dụ điển hình có thể thấy là cách mà một hình ảnh kích thước A4 có thể được thu nhỏ xuống kích thước A5 mà không cần cắt xén, lãng phí không gian hay làm biến dạng hình ảnh.
Tiêu chuẩn ISO 216 cũng bao gồm các kích thước giấy thuộc series B và C. Giấy thuộc series B có tỷ lệ √2 giống như series A, nhưng chiều dài của B(n) được xác định dựa trên trung bình hình học giữa A(n) và A(n-1). Trong khi đó, giấy series C cũng giữ tỷ lệ này nhưng được thiết kế để phục vụ như phong bì cho giấy series A.
Có thể bạn đang tự hỏi làm thế nào mà một tỷ lệ bất hợp lý lại có thể chuyển thành những kích thước chính xác trong thực tế. Thực tế là điều đó không thể xảy ra hoàn toàn. Các kích thước tiêu chuẩn do vậy được làm tròn đến milimet gần nhất. Đây là một sự chấp nhận hợp lý vì những lợi ích mà hệ thống này mang lại.
Tóm lại, việc lựa chọn loại giấy với tỷ lệ bất hợp lý thật sự là một quyết định thông minh và hợp lý. Ngược lại, việc sử dụng giấy với tỷ lệ hợp lý có vẻ như lại trở nên vô lý hơn.
Tiêu chuẩn ISO 216 cũng bao gồm các kích thước giấy thuộc series B và C. Giấy thuộc series B có tỷ lệ √2 giống như series A, nhưng chiều dài của B(n) được xác định dựa trên trung bình hình học giữa A(n) và A(n-1). Trong khi đó, giấy series C cũng giữ tỷ lệ này nhưng được thiết kế để phục vụ như phong bì cho giấy series A.
Có thể bạn đang tự hỏi làm thế nào mà một tỷ lệ bất hợp lý lại có thể chuyển thành những kích thước chính xác trong thực tế. Thực tế là điều đó không thể xảy ra hoàn toàn. Các kích thước tiêu chuẩn do vậy được làm tròn đến milimet gần nhất. Đây là một sự chấp nhận hợp lý vì những lợi ích mà hệ thống này mang lại.
Tóm lại, việc lựa chọn loại giấy với tỷ lệ bất hợp lý thật sự là một quyết định thông minh và hợp lý. Ngược lại, việc sử dụng giấy với tỷ lệ hợp lý có vẻ như lại trở nên vô lý hơn.
Reference Articles
10 Vạn câu hỏi vì sao - Toán học
Dưới đây là một dãy làm ví dụ: 100 (bình phương của số 10) có số gốc là 1. 121 (bình phương của số 11) có số gốc là 4. 144 (bình phương của số ...
Source: IssuuPi – Wikipedia tiếng Việt
Số pi (ký hiệu: π), còn gọi là hằng số Archimedes, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó ...
Source: WikipediaToán học
Phần thập phân của con số này là một dãy số vô hạn đằng sau dấu phẩy. Tương tự như vậy đối với các tỉ lệ khác có thể tính được trong ba tam giác trên. Do đó ...
Source: DigitalOceanEpsilon | PDF
Bài viết nói về mối liên hệ giữa lực Coriolis và lịch sử hình thành các gò đất dọc theo sông Hồng theo nghiên cứu của nhà toán học Nguyễn Lê Anh. Bài viết ...
Source: ScribdSao đại học lại nhồi nhét nhiều toán thế : r/learnprogramming
CS là lý thuyết đằng sau lập trình, độ phức tạp, thời gian chạy, và nhiều thứ khác nữa. Vì thế nên chương trình học nó "nhẹ" về lập trình lắm.
Source: Reddit · r/learnprogrammingLược thuật về thuyết Tương Đối
Không gian trống rỗng tưởng như yên tĩnh phẳng lặng thực ra chỉ là tổng quan trung bình của một thực tại vô cùng phong phú và sôi sục ở mực độ ...
Source: Diễn Đàn Forum(PDF) Toán học kì Thú Các bài viết dài Các bài Toán thú vị ...
Chính vì vậy, nếu quan sát ở cự ly gần một khu vực thì thực chất ta chỉ quan sát được một số thông tin điểm ảnh tương ứng phủ lên bề mặt khu vực đó. Để nâng cao ...
Source: Academia.edu01-2023
hiệu suất kỹ thuật và các thước đo này có thể được sử dụng để so sánh kết quả thực tế với các mục tiêu của dự án. Các thước đo hiệu suất kỹ ...
Source: Tạp chí Xây dựng
ALL
Máy móc chính xác
Related Discussions
Chào mọi người! Mình là một chuyên gia trong lĩnh vực thiết kế đồ họa. Mình thắc mắc về việc ứng dụng tỷ lệ √2 trong thiết kế giấy A-series. Liệu có ai đã thử nghiệm thực tế và thấy hiệu quả ra sao không? Cảm ơn trước nhé!